勉強開始1255～1263日目

今回は多次元の線型変換で、図形がどのように変換するかを見てみる。

例として、



という線型変換で、格子点
　(-3,0), (-2,0), (-1,0),　(0,0), (1,0), (2,0), (3,0)
がどのように変換するかを見ると


（変換前のグラフ横軸のは x1、縦軸は x2、変換後のグラフの横軸は y1、縦軸は y2）

ここで、一直線上に並ぶのは
　e = (1,0)
とすると
　f(e) = (1,3)
となって、このとき
　ke = (k,0)
は、線型性から
　f(ke) = k f(e) = (k,3k)
のように変換されるからだ。

同様に考えると、格子点
　(0,-3), (0,-2), (0,-1),　(0,0), (0,1), (0,2), (0,3)
は次のように変換される。




これらを合わせると、



こんな風になる。


う～ん、行列を見ただけではこんなことになるのが想像できない。
黄色と青の位置も入れ替わってるし。
とにかく、正方形がへしゃげて平行四辺形になるようだ。


線型代数は絵を描くのに時間がかかるなぁ…


使ってる教科書は↓

娘が生まれました。
母子ともに健康で本当によかった。

出産と仕事に追われて勉強がとまってたけど、
少しずつ時間を見つけて再開するぞ！！

勉強開始1144～1153日目


一変数のとき
　y = ax
　z = by
という２つの正比例関数を合成すると
　z = abx
となった。

今回は、これの多変数バージョンを考える。
多変数の場合は、行列 Ａ を用いて
　
とすると線型性を満たしたので、
これを使って2次元のときに合成がどうなるかを見てみる。



とすると



となるので、これを行列で表示すると



となる。


つまり



こう書けることになる。
（行列の積はひっくり返して AB と出来ないので注意）


これかッ！

行列の積を変なふうに定義した理由は。
今回は少しスッキリした。


使ってる教科書は↓

前より少しだけ広い部屋に引っ越しました。
（それでもまだ狭い（ＴＴ））

線型代数の難しさと引越し準備とで勉強が滞っていたけど、
年末年始に頑張って荷物を整理して、
勉強再開するぞー！

勉強開始1067～1100日目

1次元の正比例関数は
　y = ax
のように書けて、これは線型性を満たす。
（y=x^3 , y=sinx などは線型性を満たさない）


そして今回の内容。
x と　y をベクトルにして比例定数 a を行列 A にした
　
が多次元の正比例関数になるようだ。
これが線型性を満たすことは確認できた。


が、

そもそも　　なんかないし、
逆に線型でないものの例が思いつかない。


あとは、y=ax は直線だったけど
　
はどんな図形になるのかを粘って考えてみたけど、
どうやって絵に描けばいいのかもわからない。
う～ん。


使ってる教科書は↓