理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2012/06/07(木)23:29
勉強開始1264~1293日目

今回は、
 5章§5 方眼の変換
 5章§6 典型的な線型変換
を一気に進む。

まずは、前回の格子点の変換のときと同じ

線型変換の例

で変換すると、格子点と格子点を結ぶ線分も同じように変換されるので

方眼の変換

このようになる。


最初は、なぜ青と黄色の位置が入れ替わるのかわからなかったけど、
色々数字を変えてみて、
上の変換では
  元の x 軸 → (1,3)ベクトルの方向
  元の y 軸 → (2,1)ベクトルの方向
となって、x軸とy軸が入れ替わるような変換になっていたからだと理解した。

典型的な線型変換でアルファベットのFがどのようになるかを見てみると、

(1) 恒等変換
恒等変換

(2) x軸対称
x軸対称

(3) y軸対称
y軸対称

(4) 原点対称
原点対称

(5) 拡大
拡大

(6) 回転
回転

このようになる。


6番目の回転のために画像処理ソフトを探して落としてみた。
それを使って画像編集しているときに、ふと気づいた。
画像処理で変形とか回転するときに、
ソフトの内部で線型代数が使われてるに違いない。

線形代数の記事を書くために使った
画像ソフトの中で線形代数が使われている。
なんだか変な感じ。


使ってる教科書は↓

[方眼の変換、典型的な線型変換(88/231頁)]の続きを読む
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2012/01/19(木)23:09
勉強開始1144~1153日目


一変数のとき
 y = ax
 z = by
という2つの正比例関数を合成すると
 z = abx
となった。

今回は、これの多変数バージョンを考える。
多変数の場合は、行列 を用いて
 多次元の線型性
とすると線型性を満たしたので、
これを使って2次元のときに合成がどうなるかを見てみる。

合成1

とすると

合成2

となるので、これを行列で表示すると

合成3

となる。


つまり

合成4

こう書けることになる。
(行列の積はひっくり返して AB と出来ないので注意)


これかッ!

行列の積を変なふうに定義した理由は。
今回は少しスッキリした。


使ってる教科書は↓
[合成変換と行列の積(78/231頁)]の続きを読む
2010/11/20(土)23:55
勉強開始721~728日目

ついに微分積分学最後のセクション。
今回は2重積分で面積・体積を求める。

いろいろ計算練習したけど、
知ってる結果が出てきて満足したのは円と球。

積分の領域を D : x^2 + y^2 ≦ a^2 とすると、
円の面積は高さ1の円盤の体積と同じなので

円の面積

となる。めでたしめでたし。

次に半球の体積は x^2 + y^2 + z^2 = a^2 から
 z = √(a^2 - x^2 - y^2)
なので

半球の体積

となる。こちらもOK。


2年-2日でついに

微分積分学の教科書が終わった!!!

強引に2年以内にねじ込んだ感があるけど、
初めて教科書を1冊通してやりきった。
感無量。


使い終わった教科書は↓
[微分積分学終了(278/278頁)]の続きを読む
2010/11/12(金)23:00
勉強開始701~720日目

今までは x, y の2変数で積分してたけど、

積分

これを範囲D(半径Rの円の内部とする)で積分する場合だと、
 x = r cosθ
 y = r sinθ
で変数変換した極座標を使うほうが簡単になる。
と言っても極座標自体に慣れていないといけない(TдT)

そのとき、積分される関数が

 関数

のように変更するだけじゃなく、
dx, dy を dr, dθ に変更する必要がある。
ところが

 微小面積

とすると間違いになるので注意。

極座標

上の図の青い部分の面積は
 rdθ×dr
になっているので

 微小面積2

のようにしないといけない。

そのあたりを考えてちゃんと計算すると

変数変換積分

こうなる。


極座標とかでもない座標(どんなんだ?)に変換するときには、
一般にヤコビ行列式というものを考えるみたいだけど、
まだ行列式やってないorz


使ってる教科書は↓
[積分の変数を変換する(272/278頁)]の続きを読む
2010/10/23(土)23:55
勉強開始682~700日目

2重積分を1重積分の繰り返しで計算する方法を
累次積分とか逐次積分という。

1重積分。

重なってないし。



普通の積分を2回繰り返して計算するだけなので、
計算自体は問題なかったけど、
どんな2重積分でもこの方法で出来るのか?
出来ない場合はどんなときなら出来るのか?
がよく解らなかった。


使ってる教科書は↓
[1回ずつ積分する…累次積分(269/278頁)]の続きを読む
プロフィール

もんすたあ

Author:もんすたあ
こんな感じで数学始めました。

家族構成:
自分、嫁、息子、娘の4人家族

夢:
子供が大学に行って、
DQNスパイラルから抜けること

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