理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2013/03/31(日)23:46
勉強開始1569~1590日目

8章の連立1次方程式はやりやすかった。

7章でやった行列式を使ったクラーメルの公式というやつと、
掃き出し法を実際に練習してみて無事終了。

微分積分学より時間がかかっている線型代数学のなかで、
めずらしくすいすい進みました。


使ってる教科書は↓
[連立1次方程式(140/231頁)]の続きを読む
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2013/03/09(土)23:39
勉強開始1551~1568日目

今まで2次元、3次元の行列式を見てきたけど、
7章の締めくくりは4次元以上も含めた一般的な話。

もはや面積とか体積とかのイメージも出来ないので、
2次元、3次元のときにもやった交代積を考える。

4次元の場合の例を見ると、

4次行列

に対して、

ベクトル1 ベクトル2 ベクトル3 ベクトル4

のような縦ベクトルを考える。
あとは、2次元、3次元のときと同じように、次の交代積を計算したものが行列式になる。

4次の交代積


■4次の交代積の性質
(1) どれか2つを入れ替えると符号が逆になる

 2134

(2) どれかの項について分配法則が成り立つ

 分配法則

(3) 実数 k は外に出せる

 k倍

(4) 単位ベクトルについての関係式

 単位ベクトル


これらの関係式を使って、ひたすら計算すると4次の場合も行列式が求まる。



■行列式の性質

行列式の性質1

行列式の性質2

行列式の性質3

行列式の性質4

行列式の性質5

行列式の性質6



使ってる教科書は↓
[一般の行列式(128/231頁)]の続きを読む
2013/02/19(火)23:22
勉強開始1511~1550日目

いままでにベクトルの掛け算としては
ベクトルを定数倍するものや内積をやったけど、
今回はもう一つのベクトルの掛け算(外積)をやる。

外積はベクトルとベクトルをかけると新たなベクトルになる掛け算になっている。
例として

130219_gaiseki_vector.png

で作られる平行四辺形を考える。
図で見ると

外積の図

こんな感じ。

これをそれぞれの軸の方向から見ると

x軸方向から見るy軸方向から見るz軸方向から見る
外積x軸から  外積y軸から  外積z軸から  


のようになる。
それぞれの方向から見た面積は、

それぞれの方向から見た面積

となる。ここで、次のようなベクトルを考える。

外積

この3次元のベクトルのことを外積あるいはベクトル積と呼ぶ。

一般的なベクトルで外積の定義を書くと

外積の定義

となる。

■外積の性質
 1. b×a = -a×b
 2. a×(b+c) = a×b + a×c
 3. (a+b)×c = a×c + a×c
 4. 実数 k に対して、(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)
 5. a×b は、a とも b とも直交する。
 6. a を b に重ねるように右ねじを回すと、a×b は右ねじの進む方向にある。
 7. a×b の長さは、a,b で作られるもとの平行四辺形の面積に等しい。
 8. e1×e2 = e3、e2×e3 = e1、e3×e1 = e2

これらの性質は確認できたので、
あとは |a×b| が元の平行四辺形の面積になっていることを示す。

平行四辺形の面積

これは平行四辺形の面積の2乗になっている。


使ってる教科書は↓
[空間における平行四辺形の面積-外積(120/231頁)]の続きを読む
2013/01/10(木)23:44
勉強開始1491~1510日目

今回は行列式が0の行列の話。

実際にどんなことになるか、

2次の行列の例

この行列で t を1からどんどん小さくして、
行列式が0 (t=0) になるまで変化させてみる。


t=1 の場合

t=1


t=0.5 の場合

t=0.5


t=0 の場合

t=1


ぺしゃんこにつぶれた!

行列式は符号付きの面積といっていたが、
それがよくわかった。


使ってる教科書は↓
[行列式が0の線型変換(116/231頁)]の続きを読む
2012/12/21(金)23:43
勉強開始1426~1490日目

前回は2次の行列の行列式を計算するために、
交代積(符号付きの面積のようなもの)を考えた。

今回は3次の行列の行列式のために、
3次の交代積を考えてみる。
2次の場合から想像すると、今度は符号付きの体積か?

どうやってそれを定義するのか文章を見てみると、

「1番目のベクトルを2番目のベクトルに重ねるように
 右ねじを回転したとき、右ねじの進む方向に
 3番目のベクトルがあれば正、反対側にあれば負とする。」


なんじゃこりゃ???

そもそも右ねじってなんだ?
ってことで調べてみると
「時計回りにねじを回すと奥に進むねじ」
らしい。要するに普通のねじのこと。

下の絵を見てとりあえず定義は理解できた。
(a, b, c をそれぞれ 1番目、2番目、3番目のベクトルとする)

交代積の符号

ここで、このような符号をつけた体積を3次の交代積といい

3次の交代積

のように表す。



■ 3次の交代積の性質

3次の交代積の性質


(1) はどれか2つのベクトルが等しければ、交代積は 0 ということ。
  これは絵を書くと体積が0になることで納得。

(2) はどれか2つを入れ替えると符号が反対になるということ。
  これもすべての入れ替えについて確認してみて納得。

(3) は分配法則。絵を描いて納得。

(4) は実数倍は外に出ると言うこと。これもOK。

(5) は基本ベクトルの交代積は 1 ということ。1辺の長さが 1 の立方体なのでOK。


■ 3次の交代積の一般式

3つのベクトル a, b, c を

ベクトルabc

として、

3次の交代積

を上の基本性質を使って、頑張って計算すると

3次の交代積の一般式

となる。

計算練習をひたすらやって、ようやく慣れてきた。


使ってる教科書は↓
[3次の交代積(113/231頁)]の続きを読む
プロフィール

もんすたあ

Author:もんすたあ
こんな感じで数学始めました。

家族構成:
自分、嫁、息子、娘の4人家族

夢:
子供が大学に行って、
DQNスパイラルから抜けること

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