理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2009/01/28(水)22:28
勉強開始63~68日目

前回、平均の話をやったのに
今回は冒頭で「平均の速さはどうでもいいから瞬間の速さを云々」
と言われて、いらんのかいっ!
と思ったけど
  1秒の速さと2秒の速さの平均
  1秒の速さと1.1秒の速さの平均
  1秒の速さと1.01秒の速さの平均
  1秒の速さと1.001秒の速さの平均
    :
  1秒の速さと1.0000000000001秒の速さの平均
    :
のようにして、どんどん1秒という時刻の瞬間の速さに近づけていってるみたい。

教科書とは違う例で自分で確認すると、
時刻 x 秒での移動距離が y mだとして
 y = f(x) = 2x^2
という関係があった場合は、1秒から2秒の間に
 f(2) - f(1) = 2×2^2 - 2×1^2 = 8 - 2 = 6 m
進んでいて、時間は
 2 - 1 = 1 秒
経っているので
 6m/1秒 = 速さ 6
になる。

同じようにして
  1秒と1.1秒の平均の速さ ⇒ { f(1.1) - f(1) } ÷ (1.1 - 1) = 4.2
  1秒と1.01秒の平均の速さ ⇒ { f(1.01) - f(1) } ÷ (1.01 - 1) = 4.02
  1秒と1.001秒の平均の速さ ⇒ { f(1.001) - f(1) } ÷ (1.001 - 1) = 4.002
    :
と計算していくと、どんどん速さ 4 に近づいていくから
時刻1秒の瞬間の速さは4になるという流れ。

でも、何回も計算するのはめんどくさいから
時刻1秒の速さと、そこから h 秒経った時刻 1+h 秒の速さの平均を考えて
 { f(1+h) - f(1) } ÷ { (1+h) - 1 } = { 2(1+h)^2 - 2 }÷h = 4+2h
として、あとは h という文字をどんどん0に近づけていく。
式では
 hayasa-1.png
こんな風に書くルール。(画像じゃなく文字で書く方法はないのか?)

ということで2秒の瞬間の速さは
 hayasa-2.png
x 秒の瞬間の速さは
 hayasa-x.png
を計算すればいいので、
このごちゃごちゃした分数全体を f'(x) のように書くと
 f'(1) = 4
 f'(2) = 8
 f'(x) = 4x
になる。
(メモ:f'(x)は導関数と呼ぶのだっ!)

あと、f'(x) を dy÷dx のように分数で書くみたいだけど、
dy÷dxは分数とは違うみたい。
lim(⊿y÷⊿x) の ⊿y÷⊿x は分数だけど、dy÷dx はなんで違うのかがわからない。
ここで教わって解決、感謝)

もひとつおまけに、教科書ではビー玉を落としたとき
x秒でym落ちると y=5x^2 になると書いてあったけどほんとなんだろうか?

使ってる教科書は↓
[瞬間の速さ(83/278頁)]の続きを読む
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もんすたあ

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こんな感じで数学始めました。

家族構成:
自分、嫁、息子、娘の4人家族

夢:
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