理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2011/10/25(火)23:55
勉強開始1041~1066日目

前回の記事のコメントでヒントをいただいたので、
線型性
 f(x+y) = f(x) + f(y)  …(I)
 f(kx) = kf(x)  …(II)
を使って
 「線形性を持つ実数全体の上で定義された実数値関数はy=axの形で書ける」
の証明をしてみる。

(証明)
まず、f(1) = 0 の場合は線型性(II)より、任意の x で f(x) = f(x*1) = x*f(1) = 0 となり、
これは y = ax の a = 0 に相当するので、正比例関数となっている。

次に、f(1) ≠ 0 の場合を考える。
■ Step1 (f(x)は連続関数であることを示す)
任意の正数 ε に対して

デルタ

ならば、

epsilon

が成り立つので、線型性を満たす関数 f(x) は連続である。
すでに自信なし(´д`)

■ Step2 (任意の整数nについて、f(n)=n*f(1)と書けることを示す)
n が自然数の場合は、線型性(II)より
 f(n) = n*f(1)
が成り立つ。
また、線型性(II)より f(-1) = f(-1*1) = -1*f(1) = -f(1) であるから、
f(-n) = f(n*(-1)) = n*f(-1) = -n*f(1) となり、
任意の整数 n で f(n) = n*f(1) が成り立つ。
いきなり任意の整数について、線型性(II)より f(n) = n*f(1) ではだめだろうか?

■ Step3 (任意の有理数qについて、f(q)=q*f(1)と書けることを示す)
自然数 m について、線型性(II)より f(1) = f(m*(1/m)) = m*f(1/m) であるから、
 f(1/m) = (1/m)*f(1)
と書ける。
したがって、正の有理数 q = n/m について
 f(q) = f(n/m) = n*f(1/m) = (n/m)*f(1) = q*f(1)
が成り立つ。
負の有理数の場合も f(-1) = -f(1) を用いて同様に示される。

■ Step4 (任意の実数xについて、f(x)=x*f(1)と書けることを示す)
有理数全体は実数の集合の中で稠密なので、 ←まだよくわからない
有利数列 Xn で実数 x に収束するものが取れる。
Step3 より
 f(Xn)=Xn*f(1)
となる。
Step1 から f(x) は連続であるから、
n→∞とすることで
 f(x)=x*f(1)
が得られる。
ε-δできちんとやらないとだめ?

以上から、線型性を持つ実数全体の上で定義された実数値関数は y = ax の形で書ける。
(証明終わり)


う~ん(´~`)
Step2,3の手順を踏まずに、いきなり線型性(II)から実数 x について
 f(x) = f(x*1) = x*f(1)
としたらダメな理由がわからない。
根本的に証明の流れがわかってないんだろうな…
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プロフィール

もんすたあ

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