理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2011/09/29(木)23:31
勉強開始1012~1040日目

今回から5章の線型変換に入る。
ついに線型という言葉が出てきた。

冒頭の説明によると、
1変数関数のときの正比例関数は、
ある数を何倍かするというように数字をかけた。
これが多変数関数になると
あるベクトルを「何倍か」するために行列をかけることになるらしい。


まずは、1変数の正比例関数の例。
時速50kmで走っている自動車で考える。
走った時間を x、走行距離を y とすると、
 y = 50 x
となる。

2人のドライバーがそれぞれ x 時間と x' 時間走らせたとすると、
それぞれのドライバーの走行距離は 50x と 50x' になる。
また、合計で走った時間は x + x' 時間、
合計の走行距離は 50(x + x') km になる。

このとき、

線型性1

という関係が成り立っている。
式変形で導くと、今の例では

線型性1の式変形

となる。


次に、3人のドライバーが同じ時間 x ずつ運転した場合、
合計の走行距離は 50×3x、それぞれの走行距離は 50x なので、

線型性2の式変形

となる。
これは、一般に任意の実数 k を使って

線型性2

と書ける。


上に出てきた

線型性1
線型性2

の2つの性質を合わせて線型性と呼ぶ。

なぜなら、正比例関数をグラフに描くと、形が直線になるからだ。
という部分は納得したけど、
この2つの性質を持つ正比例関数以外の関数はないのだろうか?

ずいぶん粘って色々試してみたけど、確かに見つからない。
でも、無限にたくさん調べるわけにもいかないから、
なんとか証明できないかと考えたけど、それも思いつかない。

多変数に入る前にいきなりつまづいた(´д` )


使ってる教科書は↓



微分積分の復習で使ってるのは

コメント
この記事へのコメント
「線形性を持つ実数全体の上で定義された実数値関数はy=axの形で書ける」という主張は正しいです。以下証明の概略を。

Step1.
そのような関数は連続である。
これは線形性とε-δ論法で示せる。

Step2.
任意の整数nについて、f(n)=n*f(1)と書ける。
nが自然数の時には自明。線形性からf(0)=0が示せるので、f(1)+f(-1)=f(0)=0となり、f(-1)=-f(1)が示せる。これによりnが整数の場合も示せる。

Step3.
有理数qについて、f(q)=q*f(1)と書ける。
まず自然数mについてf(1)=m*f(1/m)とかけるので、f(1/m)=(1/m)*f(1)が分かる。後はこれまでと同様に任意の有理数に対して主張を拡張することができる。

Step4.
実数xについてf(x)=x*f(1)と書ける。
factとして有理数全体は実数の集合の中で稠密なので、有利数列Xnでxに収束するものが取れる。Step3.よりf(Xn)=Xn*f(1)となる。後はfの連続性より、n→∞としてやればf(x)=x*f(1)が得られる。

従って、当たり前ですが比例定数がf(1)だということも分かります。
2011/10/02(日) 02:04 | URL | gen #-[ 編集]
ありがとうございます
genさん、こんばんは。

ありがとうございます。
まだ理解できてない部分も多いですが、
微分積分の教科書と格闘しながら証明を完成させたいと思います。
2011/10/04(火) 12:30 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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