理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2011/10/25(火)23:55
勉強開始1041~1066日目

前回の記事のコメントでヒントをいただいたので、
線型性
 f(x+y) = f(x) + f(y)  …(I)
 f(kx) = kf(x)  …(II)
を使って
 「線形性を持つ実数全体の上で定義された実数値関数はy=axの形で書ける」
の証明をしてみる。

(証明)
まず、f(1) = 0 の場合は線型性(II)より、任意の x で f(x) = f(x*1) = x*f(1) = 0 となり、
これは y = ax の a = 0 に相当するので、正比例関数となっている。

次に、f(1) ≠ 0 の場合を考える。
■ Step1 (f(x)は連続関数であることを示す)
任意の正数 ε に対して

デルタ

ならば、

epsilon

が成り立つので、線型性を満たす関数 f(x) は連続である。
すでに自信なし(´д`)

■ Step2 (任意の整数nについて、f(n)=n*f(1)と書けることを示す)
n が自然数の場合は、線型性(II)より
 f(n) = n*f(1)
が成り立つ。
また、線型性(II)より f(-1) = f(-1*1) = -1*f(1) = -f(1) であるから、
f(-n) = f(n*(-1)) = n*f(-1) = -n*f(1) となり、
任意の整数 n で f(n) = n*f(1) が成り立つ。
いきなり任意の整数について、線型性(II)より f(n) = n*f(1) ではだめだろうか?

■ Step3 (任意の有理数qについて、f(q)=q*f(1)と書けることを示す)
自然数 m について、線型性(II)より f(1) = f(m*(1/m)) = m*f(1/m) であるから、
 f(1/m) = (1/m)*f(1)
と書ける。
したがって、正の有理数 q = n/m について
 f(q) = f(n/m) = n*f(1/m) = (n/m)*f(1) = q*f(1)
が成り立つ。
負の有理数の場合も f(-1) = -f(1) を用いて同様に示される。

■ Step4 (任意の実数xについて、f(x)=x*f(1)と書けることを示す)
有理数全体は実数の集合の中で稠密なので、 ←まだよくわからない
有利数列 Xn で実数 x に収束するものが取れる。
Step3 より
 f(Xn)=Xn*f(1)
となる。
Step1 から f(x) は連続であるから、
n→∞とすることで
 f(x)=x*f(1)
が得られる。
ε-δできちんとやらないとだめ?

以上から、線型性を持つ実数全体の上で定義された実数値関数は y = ax の形で書ける。
(証明終わり)


う~ん(´~`)
Step2,3の手順を踏まずに、いきなり線型性(II)から実数 x について
 f(x) = f(x*1) = x*f(1)
としたらダメな理由がわからない。
根本的に証明の流れがわかってないんだろうな…
コメント
この記事へのコメント
ごめんなさい,仰るとおりです.主張を間違えました.スカラー倍の条件があれば連続性などの面倒な議論は一切必要ありません.「xが外に出せます」で終了です.


私の主張は少し違うことを言っていて,関数に連続性を仮定するとスカラー倍の条件を落とすことができます.要するに

(1)f(x)は連続関数である.
(2)任意の実数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つ.
このときf(x)=xf(1)と書ける

ということを示していました.証明も微妙に変更がありまして,連続性を仮定しているのでStep1が要りません.Step2以降がこれの証明です.違うことを考えながらコメントしたら変なことを書いてしまいました.大変申し訳ありません.
2011/10/28(金) 00:44 | URL | gen #-[ 編集]
いえいえ、とんでもないです。

今回、教えていただいた証明の流れに沿って、
自分で考えたことですごく勉強になりました。

> (1)f(x)は連続関数である.
> (2)任意の実数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つ.
> このときf(x)=xf(1)と書ける
> ということを示していました.
この部分もいきなり聞いたらわからなかったと思いますが、
今はすごくよくわかります。

これで、心置きなく続きへ進むことが出来ます。
いつもありがとうございます(^^)
2011/10/28(金) 21:00 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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