理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2012/10/17(水)23:46
勉強開始1396~1425日目


線型変換では、下の絵のように基本ベクトル
 e1 = (1,0)
 e2 = (0,1)
で出来る正方形が
 f(e1) = (a11, a21)
 f(e2) = (a21, a22)
で出来る平行四辺形に変わるので、
面積の倍率は平行四辺形の面積を考えればよい。


方眼の変換


変換の際、図形が裏返しになる場合とならない場合があるので、
(↑なかなか意味がわからなかった。上の絵は黄色と青の点の位置が変わっているので裏返っている!)
それらを区別して正負の符号をつけてやると、
行列式という一つの式で面積の倍率を表現できるようだ。

そこで、準備として交代積というものを考える。

ベクトル a をベクトル b に重ねるように回転する向きが
 反時計回りのとき「正」
 時計回りのとき「負」
として符号をつける。
121017_fugou

このように符号を決めておいて、
ベクトル a、ベクトル b で出来る平行四辺形の符号付の面積を交代積といい、

121017_wedge

と表す。


■交代積の性質

121017_koutai_seisitu


(1) は同じベクトルだと面積ゼロだから。

(2) はベクトルの順序を入れ替えると、a を b に重ねる向きと b を a に重ねる向きが逆になるから。

(3) は下の絵の面積が (左辺)(右辺第1項)(右辺第2項) となっていることからわかる。

 121017_bunpai

(4) は (3) と同様。

(5) は下の絵を見れば、1つのベクトルが k 倍になれば面積も k 倍とわかる。

 121017_teisuubai

(6) は辺の長さが 1 の正方形の面積なので 1


やっと準備が終わって、任意のベクトルの交代積を計算できるようになったので、
2つの基本ベクトル e1、e2 で出来る面積 1 の正方形が

 121017_matrix

によってどんな面積に写るかを考える。
実際に計算してみると

121017_keisan

となる。


ここで、この交代積 a∧b を行列 A の行列式といい、
次のように表す。

121017_gyoretusiki


まだ、この行列式がなんに使われるのかはまったくわからない。
とりあえず、面積を表しているのは色々な行列で計算してみてわかった。


使ってる教科書は↓



微分積分の復習で使ってるのは

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