理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2009/02/16(月)22:46
勉強開始82~87日目

まずは三角関数の導関数を求めるときのキモとなる

 sinx/x の極限

の証明をする。

sinx/x 極限証明の図

図では半径 1 として △OAB, 扇型OAB, △OAP の面積を考えると

 面積の大小関係

となるので、 h→+0 のとき cos(h)→1 となって
はさみうちの原理から

sinx/x プラス側極限

が成り立つ。

h が負の値のときは h' = -h とすれば
h→-0 のとき h'→+0 となるので

sinx/x マイナス側極限

となる。これで

sinx/x の極限

が成り立つことがわかった。

ちなみに sin(x)/x のグラフは
sinx/x のグラフ
で、x=0 は分母に 0 が来るので値なし。

三角関数の導関数を求めるためには
もう一つ
 lim f(x)
 lim g(x)
が F, G という極限値をもつとき
 lim{f(x)g(x)} = lim f(x) lim g(x) = FG
となることをつかうけど、
ε-δ論法というものが必要で難しいので保留。
(あとでちゃんとやる予定)

ε-(´・`) フー

やっと本番。

前にやった
 sin(x) - sin(y) = 2cos{ (x+y)/2 }sin{ (x-y)/2 }
 cos(x) - cos(y) = -2sin{ (x+y)/2 }sin{ (x-y)/2 }
も使うのでここで思い出しておく。

sinx の導関数


cosx の導関数


tanx の導関数

tan(x) の導関数の結果を見て思い出した。
前に三角関数の関係式
 「サインエックスの2乗」を sin^2(x) のように書くのが変な感じ
と書いたけど、ちょっと分かった気がする。
 sin x^2
のように書くルールだと
 (sin x)^2
 sin(x^2)
のどっちかは括弧をつけて区別しないといけなくなるけど、
 sin^2 x
のように書くルールだと上の2つの区別ができて
括弧がいらなくなるからだと思う。
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