理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2009/05/01(金)22:41
勉強開始149~161日目

ついに積分が始まった。
まずはイメージから。

時速 50km で2時間走ったときの距離が 100km
というのを絵で見ると

積分のイメージ1

で、面積が 100km になっている。
次に、最初の1時間は時速 50km、
途中で速さを変えて時速 60km で1時間走った場合を見てみると

積分のイメージ2

で、面積は
 時速50km × 1時間 + 時速60km × 1時間 = 110km
になる。

同じ要領で、どんどん速さが変わっていく場合は

積分のイメージ3

こんな感じで細長い長方形に分けて考える。
時間 x のときの速さが時速 2x km のときを例に考えると

6分(1/10時間)後の速さ 2 × 1/10 = 0.2 で 1/10 時間進み、
12分(2/10時間)後の速さ 2 × 2/10 = 0.4 で 1/10 時間進み、
18分(3/10時間)後の速さ 2 × 3/10 = 0.6 で 1/10 時間進み、
  :
60分(10/10時間)後の速さ 2 × 10/10 = 2 で 1/10 時間進むから

1時間で
 (0.2 + 0.4 + 0.6 + … + 2)× (1/10) = 1.1km
進むことになる。

もっと長方形を細くしてみると

1/100時間後の速さ 2 × 1/100 = 0.02 で 1/100 時間進み、
2/100時間後の速さ 2 × 2/100 = 0.04 で 1/100 時間進み、
3/100時間後の速さ 2 × 3/100 = 0.06 で 1/100 時間進み、
  :
100/100時間後の速さ 2 × 100/100 = 2 で 1/100 時間進むから

1時間では
 (0.02 + 0.04 + 0.06 + … + 2)×(1/100) = 1.01 km
進むことになる。

さらにどんどん細かくしていくと1時間で進む距離は 1km に近づいていって、
ちゃんと底辺1時間、高さ(1時間後の速さ)時速 2km の三角形の面積になっている。

関数を f(x) としたときは

積分の定義

こんなのを計算していることになるけど、これが微分の定義

090202_dydx.png

みたいなものなのか。
微分は変化だったけど、積分が何をしようとしているのかが曖昧で自信がない。


使ってる教科書は↓
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自分、嫁、息子、娘の4人家族

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