理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2009/11/01(日)17:08
勉強開始342~344日目

前回テイラー展開を覚えたので、ここ数日はいろんな関数を展開してみた。

その中でグラフが面白かったのは sin と cos。
1項ずつ増やしてgifアニメにしてみた。

sinxのテイラー展開

sinxのテイラー展開のグラフ

cosxのテイラー展開

cosxのテイラー展開のグラフ



使ってる教科書は↓

コメント
この記事へのコメント
凄い!!
sinxのテイラー展開、イメージで理解してましたが、こういう動きで見るとハッとしますね。ありがとう。
cosxはsinxを微分すれば出てくることが浮き彫りになりましたね。
2009/11/01(日) 21:36 | URL | gauss #-[ 編集]
こんばんは
> cosxはsinxを微分すれば出てくることが浮き彫りになりましたね。
e^x のテイラー展開もそうでしたが、この結果を見たときは感動しました。
2009/11/03(火) 02:45 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
細かい(あまり細かくないですが)ことは置いといて、指数関数のTaylor展開の変数にix(iは虚数単位)を代入して、実部と虚部に分けて整理すると、
exp(ix)=cosx+isinx
が導けたりします。これをオイラーの公式と呼びます。このxにπを代入すると
exp(iπ)=-1
が成り立つような気がします。これが何故か美しいとして(数学で重要な定数やら記号がわんさか出てくる)珍重されています。

この公式はそんなしょーもないこと以外にも色々出来ます。例えば、三角関数のn倍角の公式が生産できます。以下で2倍角の公式を求めてみましょう。
まず、
exp(i2x)=cos2x+isin2x
が成り立ちます。ところが、
exp(i2x)=(exp(ix))^2=(cosx+isinx)^2
も成り立ちます。これらの実部と虚部を比較すれば簡単に2倍角の公式が導けます。
この2をnにすれば簡単にn倍角の公式が生産できます。

とまあ、こんな感じにTaylor展開は役に立つこともあるという例でした。長々すいませんでした。
2009/11/07(土) 23:50 | URL | gen #-[ 編集]
ありがとうございます!!
gen さん、こんばんは。

sinx, cosx の展開を見たときに e^x の展開と似ていると思ったのですが、
足したり引いたりしても一緒にならなかったので、
グラフの形も違うことだし特に関係なかったのかと納得してしまってました。
虚数を代入するというのはまったく考えもしませんでした。

倍角の公式もちゃんと確認してみました。
実数でやるよりもずいぶん簡単に出てきたので驚きました。

2次方程式のところで虚数の存在は知ってましたが、
関数の虚数の値を代入するというのはすごく視野が広がった気がします。
2009/11/08(日) 01:55 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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