理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2009/11/07(土)23:59
勉強開始345~350日目

次の7章が2変数の関数ということで、
お世話になっているぶどう様の 3D バージョンをダウンロードした。

今までの 2D用 GRAPES では
 y = sin(x)
を出したいときは

GRAPES 2D

と入力すれば出てきたけど、
3D バージョンのマニュアルを読んで完全にテンパった。

パラメータってなんですか?

バロメータと似てるけどまったく意味がわからん。
日本語は媒介変数というらしいけど、
媒介と聞いて思い浮かぶのは病原菌を運ぶ蚊。
x, y, z の間を飛んでる蚊みたいなやつが媒介変数?

ネットでいろいろ調べてみて、パラメータの意味は完全につかめてはいないけど、
 z = sin(x+y)
を出したいときは

GRAPES 3D

と入力すれば出てくることはわかった。

どうせ、3つ目のところで sin(s+t) って入力するんだから、
(s,t,sin(s+t)) なんて書かなくても sin(x+y) って書かせてくれればいいのに、
と思ってしまうのはパラメータがわかってないからだろうか?


とりあえず試行錯誤の結果、表示成功。
z=sin(x+y)
コメント
この記事へのコメント
パラメータ
かなり長くなります。すいません。

例えば一変数の場合ですが、

①y=sinx x:実数
②(t,sin,) t:実数

は同じものを表しています。
①の表現はまさにxとyの関係を表していてお馴染みだと思います。
②の表現は、まずxy平面の「外」にt軸があると考えます。そして、以下のような「対応」を考えます。

t→(t,sint)

これは何を言っているかというと、「tごとにxy平面内の点が定まる」ということを言っています。もっと直感的に言ってしまえば、「t軸をxy平面内に少し曲げたりしてベタッと貼り付ける」という操作を表しています。パラメータ表示はこんな感じです。

もう少し他の例も書いておきます。

①x^2+y^2=1
②(cost,sint) 0≦t≦2π

①は、円ですね。
②ですが、t→(cost,sint)は閉区間[0,2π]を端っこを重ねて丸くしてxy平面内に貼り付けています。

パラメータ表示の利点を二つ挙げます。
まず二番目の例ですが、①の表現は「yをxの関数としてきっちり表せない」ことが嫌な感じです。平面に円を書いてみれば一目瞭然ですが、x毎にyが唯一つ決まる、というわけではない!これは関数として非常にまずいです。ところがパラメータ表示するとそういう問題点は解消されています。
次に、

f(x,y)=2xy ただしx^2+y^2=0

の最大値と最小値を求める問題を考えてみます。

x=cost
y=sint

とパラメータ表示すると

f(x,y)=2costsint=sin2t

となり、最大・最小がすぐに分かります。なんでこんな簡単になったかといえば「変数がtだけになった」ことが一番大きいです。やっぱり変数が減ると物は格段に扱いやすくなります。


お書きになられた例については、

(s,t)→(s,t,sin(s+t))

という対応の解釈をします。これはxy平面の外に「st平面」があるとまず思います。それをうねうね曲げてxyz空間に埋め込むと思うと良いです。だからグラフも面になっています。

なんか分かりにくい文章になってしまい申し訳ありません。
2009/11/08(日) 12:26 | URL | gen #-[ 編集]
ありがとうございます
少し感じがつかめてきました。

まだパラメータ表示に慣れていないので、
自分にとっては便利とは言い難いですが、
 f(x,y)=2xy
の変数の個数が減って
 f(x,y)=2costsint=sin2t
になることで最大最小が考えやするなるのはよくわかりました。

挙げていただいた円の例を見て思ったのは、
練習で出そうとしていた
 z = sin(x+y)
が簡単だったために
 (s,t,sin(s+t))
になってしまっただけで、
もう少し複雑なとき(陰関数?)には
 (複雑な式, 複雑な式, 複雑な式)
となって
 z = …
では表せないようなものでも絵が描けるようにするため
GRAPES 3D では便利パラメータ表示を採用してるのかな、と考えました。
2009/11/08(日) 15:18 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
そうですね、確かに陽に表せている関数をパラメータ表示してもあんまり嬉しくないかもしれません。陰関数だと嬉しいことが多いとかもしれません。

下にWikipediaの「曲線」の項目のURLを貼りました。間に書いてあることはあんまり気にしなくて良いんですが、下の「代表的な曲線」の項目は面白いかもしれません。~ロイドたち、インボリュート、リサジュー曲線辺りを眺めてみるとパラメータ表示の良さがちょっと見えると思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A
2009/11/08(日) 21:05 | URL | gen #-[ 編集]
驚きました
こんなにたくさん名前のついた曲線があるんですね。

3D版 GRAPES の練習もかねてロイドたちと格闘してみます^^

ありがとうございました。
2009/11/08(日) 23:22 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
幸せ者ですね!!
モンスター様、優しい支援者が沢山居て幸せですね。。””うねうね曲げてxyz空間に埋め込む””こういう表現、初めて聞いたと思いますが、私も初めて聞きましたが、モノを人間が理解するときどのように心に刻むかと言う良い一例だと思います。ドンドン世界が拡がって行きますね。
2009/11/09(月) 13:01 | URL | gauss #-[ 編集]
おっしゃるとおりです
テレビではインターネットの悪い面を取り上げることも多いですが、
私にとってその存在はすごくありがたいものです。

質問サイトや皆さんのコメントがなければ、
全然進んでいなかったと思います。
教科書すら見つけられていないかも…

タイトルには自力でなんてえらそうなことを書いていますが、
ネットの向こうの皆さんが先生です。
本当にありがとうございますm(_ _)m
2009/11/09(月) 23:16 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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