理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
--/--/--(--)--:--
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
2009/12/23(水)23:24
勉強開始382~396日目

今回は x 方向とか y 方向以外の傾きの話。

x 方向や y 方向の傾きのときは

xで偏微分

yで偏微分

のように、x とか y だけを動かしていくけど、
それ以外の方向の傾きを求めるときは、
x, y の両方が変化するので

 方向微分

こんな風になるけど、y=mx という直線に沿って h,k を 0 に近づける場合は

 方向微分

こういう変化を考えることになる。


というわけで、前々回の例

1/3 x + 2/3 y

で一番傾いている方向を求めてみる。

y = mx の方向の傾きを考えると

方向微分

となるので、一番傾いてるのは m→∞ のときで、その傾きは無限大。

んなわけない。


どこがおかしいのかずっと分からなかったけど、
(1,m) という方向を表すベクトルの長さが変わっていくのが問題だと気づいてやり直し。

方向微分

あとはこれを m で微分すると

方向微分

になったので、m=2 のときが傾き最大で √5/3 になると思うけど、自信なし。

そもそも、このやり方だと y=mx で表せない方向もあるし、
かといって f(x+h, y+k) みたいにすると
2変数関数の最大の傾きの方向を求めるのに新しい2変数が出てくるし、
困った。


使ってる教科書は↓
コメント
この記事へのコメント
メリークリスマス!
y=mxで表せない方向は結局y軸に沿って襲ってくる方向だけだからそれだけ別にやれば良い、という説もありますが、もうちょい変数が増えても対応できるやり方を。

{f(tcosθ,tsinθ)-f(0,0)}/h→(θのみの関数) as h→0
となります。これは原点での(cosθ,sinθ)方向の傾きを表します。後はθについて微分とかしてやって増減表とか書けば最大値、最小値が求まります。これで一番傾いている方向や傾いていない方向が求まります。

この問題は要するに「原点から生える半直線の上だけで見れば曲面は曲線。原点での右微分係数が最大となる半直線の方向は何ぞや?という問題ですね。つまり半直線を「回転」させていき、最大となる方向を探すワケです。そうなると回転と相性が良いのがやはり極座標(そもそも定義が半直線を回転させて…とかなので)なのでそれを取り入れると上記のような方法になるわけです。極座標がやや難しくなるので今回は割愛しますが、この方法はf(x,y,z)という関数が一番傾く方向は?という問に対しても適用できます。
2009/12/24(木) 23:10 | URL | gen #-[ 編集]
メリークリスマス
ありがとうございます。

cosθ,sinθを使う方法もやってみると、
無事に tanθ=2 のとき最大となって結果が一致しました。
これで自分の考え方でよかったと確信が持てました。

極座標は慣れないので大変でしたが、
xyzの空間のときの似たような問題では
2変数になるというのは理解できました。
2009/12/26(土) 01:43 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
コメントを投稿する
URL:
Comment:
Pass:
秘密: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
この記事のトラックバックURL
http://monster54.blog6.fc2.com/tb.php/62-5573a5ce
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
この記事へのトラックバック
プロフィール

もんすたあ

Author:もんすたあ
こんな感じで数学始めました。

家族構成:
自分、嫁、息子、娘の4人家族

夢:
子供が大学に行って、
DQNスパイラルから抜けること

最新記事
最新コメント
月別アーカイブ
カテゴリ
 | 高卒で大学数学TOPへ | 
Designed by DAIGO / Material by ARCHIMIX
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。