理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2010/05/14(金)21:25
勉強開始521~538日目

連休中の家族サービスと連休後の仕事の忙しさで停滞気味でしたが、
なんとか前に進んでいます。


2変数関数 z = f(x,y) の全微分が

全微分

だったことを思い出すと、微分方程式

微分方程式

が与えられたとき、

 P(x,y) が何かの関数を x で偏微分したもの
 Q(x,y) が同じ関数を y で偏微分したもの

になっていて、その関数を見つけることが出来れば、
微分方程式が解けることになる。


うまくそんな関数が見つかるための判定条件があって、
それは大抵の関数では(注)偏導関数が存在して連続になってる

2階偏微分

が成り立つという性質があるので、
ある関数 f(x,y) があって

微分方程式

のようになっているためには

完全微分方程式の条件

が必要ということだ。

この条件を満たしている微分方程式を完全微分方程式という。


ということで、完全微分方程式の解き方を見てみると、
元の関数 f(x,y) が (a,b) を通るとき

微分方程式

から f(x,y) を求めるには、上の式を (a,b) から (x,y) まで積分すればよい、とある。

ちょっとまった!

そんな積分やってないし。


とりあえず式を追ってみると、

積分経路

の経路 S と T に沿った積分がそれぞれ

解法

と書いてある。

数日悩んだ結果、x 軸に沿っているときは dy=0 だから(  )dx の項の積分だけ考えて
y 軸に沿っているときは dx=0 だから(  )dy の項の積分だけ考えている、と気づいた。
項の順序を矢印の順序に合わせてくれてたら、もう少し早く気づいたかもしれないのに……。

とにかく、こんなふうに f(x,y) を求めると

 f(x,y) = 0

が微分方程式の答えになっている。
経路が違っても積分結果が同じというのが完全微分方程式の条件になっている。


↓に例題を1つ載せてみた。
例題 微分方程式

例題

の解 f(x,y) = 0 を求めよ。ただし、f(x,y) は (1,0) を通るとする。



解答

例題の答え

したがって

例題の答え2

が求める答えとなる。
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