理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2010/06/18(金)23:06
勉強開始556~573日目

今回は2階線形微分方程式。

 2階線形微分方程式

こんなやつです。

今は

 p(x) (定数)
 q(x) (定数)
 r(x)

の場合をやる。
p(x), q(x), r(x) が複雑な場合も試してみたけど出来なかったorz

 2階線形微分方程式(簡易版)

の答えが

 答え予想

だと予想する。(と書いてある)
何で予想できるんだ?
指数関数は微分してもあまり形が変わらないからか?と思ったけど、
そんなこと言い出すと、どの微分方程式も e^{kx} と予想できてしまうぞ!
ここは100歩譲って賢い人が予想できたんだということにしておこう。


そうすると、

 答え1階微分
 答え2階微分

を代入して

 途中の式

このようになる。このとき、e^{kx} ≠ 0 なので

 途中の式2

でないといけない。


1.この2次方程式が異なる2つの解α、βを持つとき
 e^{αx}、e^{βx} の両方とも解なので
 2階線形微分方程式の答え1
 OKです。

2.この2次方程式が重解(α=β)を持つとき
 e^{αx} は解になる。
 そしてもう一つ xe^x も解となるので、
 なんで???予想と違う形だけどどうやってでてきた???
 確かに元の微分方程式に代入すれば解になってるのはわかるけど……
 10000歩くらい譲ったら思いつくとしてみる。

 2階線形微分方程式の答え2

3.この2次方程式が2つの虚数解(α±βi)を持つとき
 このときは
  ecos_esin
 が解となるので、
 えーっと、予想はどこへ行きましたか???
 こんなのはやぶさ君の60億km分の歩数譲っても思いつきません(TдT)

 2階線形微分方程式の答え3



ところで、線形ってなんだろう?
文字通りなら線の形だけど、グラフはどれも線だしよくわからない。
微分積分学が終わった後にやる予定の線形代数学をやればわかるのか?


使ってる教科書は↓
コメント
この記事へのコメント
(1)すごく大雑把なことを言うと、方程式は
(d/dx-α)(d/dx-β)y=0
と微分演算子の「因数分解」みたいなことができないことも無いような気がします。すると
①dy/dx-αy=0
②dy/dx-βy=0
となるyは、因数分解の形を眺めてみれば、どちらも元の方程式の解であることが分かります。こうして指数関数が出て来ます。

(2)またまたすごく大雑把なことを言うと、固有値が潰れているとき、方程式は
d^2y/dx^2-αdy/dx+(α^2)y=0
⇔{(d/dx-α)^2}y=0
と微分演算子の「因数分解」みたいなことができます。すると、
①dy/dx-αy=0
②dy/dx-αy=exp(αx)
となるようなyを求めればよいことが分かります。上の方程式は(1)と同様です。下ですが、①の方程式からexp(αx)に(dy/dx-α)を作用させると0になることが分かるからです。

(3)同様に因数分解とかをやってやるとexp{(α±βi)x}が解であることが形式的には分かります。指数関数の複素数乗ってなんなのさ、という突っ込みはあると思いますが、まあちゃんとあるんです。大体普通の指数関数と同じような計算法則が成り立ちます。
ところで、オイラーの公式ってありましたよね。
exp(ix)=cosx+isinx
という奴です。これを使って指数関数を三角関数で表してやって、係数をちょっと整理すれば解が得られます。

(4)線形とは、足し算と定数倍が出来る、という空間の構造のことです。関数全体の空間にもそういう構造はありますし、ユークリッド空間(高校数学で言うベクトルです)にも自然にそのような構造が入ります。更に言えば数列全体の空間にも同様の構造が入りますし、数学の世界では線形な構造を持った空間は沢山あるのです。線形という言葉で一まとめにする理由ですが、この線形性を持つ空間はある意味でユークリッド空間と同様の性質を持つので色々調べやすいんですよ。詳しくは線形代数で。
2010/06/20(日) 09:40 | URL | gen #-[ 編集]
genさん、ありがとうございます。

一番思いつくのが不可能と思っていた(3)がわかりました。
前にコメントで教えていただいた
 exp(ix)=cosx+isinx
が関係していたのですね。
虚数乗の意味はまだわかりませんが、
計算上は答えにたどり着きました。
虚数乗とかが出てくるのはなんという科目なんでしょうか?

あと、(2)のところで
> ②dy/dx-αy=exp(αx)
なるのは
> ①の方程式からexp(αx)に(dy/dx-α)を作用
> させると0になることが分かる
のところが分かりませんでした。
よろしければこのあたりを詳しく教えてくださいm(_ _)m
2010/06/21(月) 18:34 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
虚数乗とかは「複素解析学」という科目でちゃんとやります。虚数乗以外にも今まで計算不可能に思えた定積分が計算出来るようになったりします。

(2)のところですが、作要素という言葉はとりあえず字面通りの意味に捉えてください。まず①のケースを考えるとy=exp(αx)は(d/dx-α)y=0を満たすことが分かります。しかしながら方程式は(d/dx-α)という作要素を二回作用させて0になる関数を求めよ、という問題なので①だと作要素を一回作用させただけで0になってしまうので、作要素一回分損しているわけですね。というわけでちょうど二回作用させて0になるような関数といえば、一回作用させてexp(αx)となるようなものです。なので②のケースのようにdy/dx-αy=exp(αx)となる関数を求めるわけです。
2010/06/22(火) 01:38 | URL | gen #-[ 編集]
ありがとうございます
何とか理解できたと思います。

たとえば
 d^2y/dx^2 = 0
という2階微分方程式の場合に
 dy/dx = 0
だけでなく、
 dy/dx = c (定数)
も元の微分方程式の解になっているのと同じで、微分演算子(?)
 d/dx - α
をかけると消えてしまう e^{αx} は、
d/dx - α にとっての定数になっている、ということだと思いました。
変な言い方かもしれませんが。
2010/06/23(水) 00:38 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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