理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2010/06/23(水)23:53
勉強開始574~578日目

前回の※欄で教えていただいたので、
2階線形微分方程式

 2階線形微分方程式(簡易版)

をもう一度考えてみる。これの解が

 答え予想

だと予想して元の式に代入すると、

 途中の式

なるけど、e^{kx} ≠ 0 なので

 途中の式2

でないといけない。


1.この2次方程式が異なる2つの実数解α、βを持つとき
 e^{αx}、e^{βx} の両方とも解なので
 2階線形微分方程式の答え1
 ここまではOK。

2.この2次方程式が重解(α=β)を持つとき
 e^{αx} は解になる。
 すると、d/dx - α を両辺に作用(?)させると元の微分方程式になることから

  途中の式

 の解も元の微分方程式を満たすことがわかる。
 (10/07/05追記、右辺は Ae^{αx} でもいい。)
 そこで、(*) の微分方程式を解いてみる。
 これは前にやった定数変化法で

  途中の式2

 とすると、f'(x) = 1 でないといけないことがわかる。
 したがって、f(x) = x + C となるので、
 (*) の微分方程式の解は

  途中の式3

 となるので、元の微分方程式の解は

  2階線形微分方程式の答え2

 となる。


3.この2次方程式が2つの虚数解(α±βi)を持つとき
 このときの解は形式上

  途中の式3-1

 と書けるので、
 (虚数乗とかオイラーの式とかは微分積分と線形代数が終わった後の科目でやる)

 途中の式3-2

 このようになって、係数を A, B に書き直すと

 2階線形微分方程式の答え3

 が解となっている。
 係数に複素数が出て来るのが気になるけど、これも複素解析学をやればわかるのかな。


なにはともあれ、現状の知識を総動員して何とか筋道をたどって
解が出てきたのでよしとしておきます。
コメント
この記事へのコメント
前回書き忘れましたが、解が指数関数で予想出来ることにはそれなりに根拠があって、線形代数でやる固有値・固有関数という概念がポイントです。
2010/06/29(火) 00:42 | URL | gen #-[ 編集]
ありがとうございます
教えていただいたこと忘れないように、
線形代数学の教科書の固有値のページに
付箋をはっておきました。
2010/06/30(水) 02:26 | URL | もんすたあ #-[ 編集]
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