理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2010/08/17(火)20:07
勉強開始609~633日目

■2変数1条件の場合

x と y がある関係
 g(x,y)=0
を満たしながら動いているときに、関数
 f(x,y)
がどんなときに極大、極小となるか考える。

まずは、2つのグラフ
 f(x,y)=c
 g(x,y)=0
を書いてみる。
次に、c の値をだんだん大きくしていって、
初めて2つのグラフが接したときが
 f(x,y)
が極小になるはずだ。

さらに、c を変化させていくと、場合によっては
他にも2つのグラフが接するところがでてくる。
そして、それが知りたい極大、極小などになっている。

というわけで、2つのグラフが接する場所を知りたいので、2つの関数の傾きを考えてみる。
ところが、f(x,y) とか g(x,y) は y = … という形に持っていけるとは限らないので、
陰関数定理を使って傾きを考えることになる。

前にやった話を思い出すと、
 陰関数の導関数
から、陰関数の導関数は
 陰関数の導関数2
だったので、今は f と g の傾きが等しくなることから
 傾き一致
が成り立つ。

少し変形してから、その値を -λ とすると
(マイナス付なのはあとで移項してプラスにするから)
 傾き一致から変形
こうなって、これは2つの式
 条件式
になる。この条件式に g(x,y)=0 を合わせて連立方程式を解くことで
極大、極小などが出てくる。

今までのところでも不可解な変形があるけど、
ラグランジュさんは
 ラグランジュの未定乗数法
という3変数関数を導入することで、さっきの条件は
 ラグランジュの未定乗数法2
と書けると言いましたとさ……。


計算すればさっきの条件が出てくるのは分かるけど、
こんなの思いつかんでしょ!
というか、上の解釈もたくさんのサイトとか見て、
こんなことかな?と思っただけで、あやしさ満載。


使ってる教科書は↓
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