理由あって大学にはいけなかったけど、自力で大学数学を頑張ってみるブログ。 最終目標:モンスター
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2012/12/21(金)23:43
勉強開始1426~1490日目

前回は2次の行列の行列式を計算するために、
交代積(符号付きの面積のようなもの)を考えた。

今回は3次の行列の行列式のために、
3次の交代積を考えてみる。
2次の場合から想像すると、今度は符号付きの体積か?

どうやってそれを定義するのか文章を見てみると、

「1番目のベクトルを2番目のベクトルに重ねるように
 右ねじを回転したとき、右ねじの進む方向に
 3番目のベクトルがあれば正、反対側にあれば負とする。」


なんじゃこりゃ???

そもそも右ねじってなんだ?
ってことで調べてみると
「時計回りにねじを回すと奥に進むねじ」
らしい。要するに普通のねじのこと。

下の絵を見てとりあえず定義は理解できた。
(a, b, c をそれぞれ 1番目、2番目、3番目のベクトルとする)

交代積の符号

ここで、このような符号をつけた体積を3次の交代積といい

3次の交代積

のように表す。



■ 3次の交代積の性質

3次の交代積の性質


(1) はどれか2つのベクトルが等しければ、交代積は 0 ということ。
  これは絵を書くと体積が0になることで納得。

(2) はどれか2つを入れ替えると符号が反対になるということ。
  これもすべての入れ替えについて確認してみて納得。

(3) は分配法則。絵を描いて納得。

(4) は実数倍は外に出ると言うこと。これもOK。

(5) は基本ベクトルの交代積は 1 ということ。1辺の長さが 1 の立方体なのでOK。


■ 3次の交代積の一般式

3つのベクトル a, b, c を

ベクトルabc

として、

3次の交代積

を上の基本性質を使って、頑張って計算すると

3次の交代積の一般式

となる。

計算練習をひたすらやって、ようやく慣れてきた。


使ってる教科書は↓
[3次の交代積(113/231頁)]の続きを読む
2012/11/22(木)01:09
子供の世話と線型代数の難しさでペースが鈍ってますが、
ついに勉強開始から4年が経ちました。

4年経っても、まだ大学1年の内容が終わってないけど(TдT)
めげずに頑張ります。
2012/10/17(水)23:46
勉強開始1396~1425日目


線型変換では、下の絵のように基本ベクトル
 e1 = (1,0)
 e2 = (0,1)
で出来る正方形が
 f(e1) = (a11, a21)
 f(e2) = (a21, a22)
で出来る平行四辺形に変わるので、
面積の倍率は平行四辺形の面積を考えればよい。


方眼の変換


変換の際、図形が裏返しになる場合とならない場合があるので、
(↑なかなか意味がわからなかった。上の絵は黄色と青の点の位置が変わっているので裏返っている!)
それらを区別して正負の符号をつけてやると、
行列式という一つの式で面積の倍率を表現できるようだ。

そこで、準備として交代積というものを考える。

ベクトル a をベクトル b に重ねるように回転する向きが
 反時計回りのとき「正」
 時計回りのとき「負」
として符号をつける。
121017_fugou

このように符号を決めておいて、
ベクトル a、ベクトル b で出来る平行四辺形の符号付の面積を交代積といい、

121017_wedge

と表す。


■交代積の性質

121017_koutai_seisitu


(1) は同じベクトルだと面積ゼロだから。

(2) はベクトルの順序を入れ替えると、a を b に重ねる向きと b を a に重ねる向きが逆になるから。

(3) は下の絵の面積が (左辺)(右辺第1項)(右辺第2項) となっていることからわかる。

 121017_bunpai

(4) は (3) と同様。

(5) は下の絵を見れば、1つのベクトルが k 倍になれば面積も k 倍とわかる。

 121017_teisuubai

(6) は辺の長さが 1 の正方形の面積なので 1


やっと準備が終わって、任意のベクトルの交代積を計算できるようになったので、
2つの基本ベクトル e1、e2 で出来る面積 1 の正方形が

 121017_matrix

によってどんな面積に写るかを考える。
実際に計算してみると

121017_keisan

となる。


ここで、この交代積 a∧b を行列 A の行列式といい、
次のように表す。

121017_gyoretusiki


まだ、この行列式がなんに使われるのかはまったくわからない。
とりあえず、面積を表しているのは色々な行列で計算してみてわかった。


使ってる教科書は↓
[線型変換による面積の倍率(109/231頁)]の続きを読む
2012/09/17(月)23:23
勉強開始1331~1395日目

前回の更新から2ヶ月以上たってしまったかわりに、
6章を一気にやりきった!

6章(線型変換による立体図形の変換)の内容
 §1 立方体の変換
 §2 立体図形の回転
 §3 3次元のアフィン変換
 §4 いろいろな立体図形の変換


とにかく2ヶ月の間、立方体などをいろんな行列で

変換して変換して変換して変換して…

どんな形になるのかを確認した。


絵を描くのに時間がかかって進まなくなっては意味がないので、
結果の一部だけ紹介。

元の図形は F の文字。

F

(1) y → -y

F_-y_図  F_-y_行列

(2) (x, y, z) → (-x, -y, -z)

F_-xyz_図  F_-xyz_行列

(3) 45°回転

F_kaiten_図  F_kaiten_行列

(4) 一般の回転

F_kaiten2_図  F_kaiten2_行列



使ってる教科書は↓
[線型変換による立体図形の変換(101/231頁)]の続きを読む
2012/07/14(土)23:23
勉強開始1294~1330日目

5章の最後はアフィン変換の話。
ただ、1ページ触れられているだけで、紹介程度で終わっている。
wikipedia とかも見てみたけど、ちょっと難しくてわからなかった。


1次関数 y = ax + b が正比例関数 y = ax を平行移動した関数だったように、

線型変換の例



アフィン変換

の違いは、原点が (1,2) だけ平行移動すること。


アフィン変換は紹介だけだったので、これで終わりにして、
6章に進んでいく。

でも、今困っているのは6章は「線型変換による立体図形の変換」だから、

回転

の立体版のような絵を描かないといけない。

どうしよう…


使ってる教科書は↓
[5章終了(89/231頁)]の続きを読む
プロフィール

もんすたあ

Author:もんすたあ
こんな感じで数学始めました。

家族構成:
自分、嫁、息子、娘の4人家族

夢:
子供が大学に行って、
DQNスパイラルから抜けること

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